3  Modelos de volatilidade

3.1 Modelos lineares

3.1.1 ARCH

Seja o modelo \[ \begin{aligned} y_{t} = \mathbb{E}[y_{t} \! \mid I_{t-1}] + \nu_{t} \end{aligned} \]

onde \(\nu_{t} \sim i.i.d \, (0, \, h_{t})\) representa o erro do modelo, com média zero e uma variância \(h_{t}\) que é condicional ao conjunto de informações passadas \(I_{t-1} = \{y_{1}, x_{1}, ..., y_{t-1}, x_{t-1}\}\) e \(\nu_{t}\) pode ser separado em duas partes, uma é a parte estocástica \(\varepsilon_{t} \sim i.i.d \, (0, \, 1)\) e a outra é o desvio padrão condicional que depende do tempo \(h^{\frac{1}{2}}\). Logo, a variância de \(\nu_{t}\) é \[ \begin{aligned} \mathbb{E}[\nu_{t}^{2} \mid I_{t-1} ] = h_{t} \end{aligned} \]

Assumindo que a média é zero, podemos escrever o modelo ARCH básico da seguinte forma \[ \begin{aligned} y_{t}=h_{t}^{\frac{1}{2}} \varepsilon_{t} \end{aligned} \]

como \(h\) é a variância condicional ao conjunto de informação, ele é definido como \[ \begin{aligned} h_{t}=w + \alpha y_{t-1}^{2} \end{aligned} \]

onde ele depende de uma constante e do quadrado da informação passada.

Note que, como está ao quadrado a informação passada, o modelo ARCH, que é da classe dos lineares, atribui peso igual para volatilidade tanto negativa quanto positiva. A ideia central desse tipo de modelo é conseguir separar a volatilidade condicional do ruído branco e modelar essa volatilidade condicional \(h_{t}\).

Modelo AR-ARCH: Como aqui nos modelos de volatilidade nós estamos considerando o \(y_{t}\) como uma série de retornos, pode acontecer de que os retornos sejam correlacionados, ainda que fracamente, sendo então adicionado um AR(1) ao modelo \[ \begin{aligned} y_{t} &= \phi y_{t-1} + h_{t}^{\frac{1}{2}} \varepsilon_{t} \\ h_{t} &=w + \alpha y_{t-1}^{2} \end{aligned} \]

em que \(\phi\) mede a correlação entre os retornos no tempo \(t\) e \(t-1\).

3.1.2 GARCH

Esse modelo é uma extensão do modelo ARCH. Aqui, ele inclui dentro da variância sua própria defasagem. Podemos escrever o modelo GARCH(1,1) da seguinte maneira \[ \begin{aligned} y_{t} &= \phi y_{t-1} + h_{t}^{\frac{1}{2}} \varepsilon_{t} \\ h_{t} &= w + \alpha y_{t-1}^{2} + \beta h_{t-1} \end{aligned} \]

e um modelo GARCH(p,q) é dado por \[ \begin{aligned} h_{t} = w + \sum_{i=1}^{q} \alpha_{i}y_{t-i}^{2} + \sum_{i=1}^{p} \beta h_{t-p} \end{aligned} \]